MEDIDAS DE VARIACIÓN

Las medidas de dispersión, también llamadas medidas de variabilidad, muestran la variabilidad de una distribución, indicando por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (Desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (Varianza).

• Rango estadístico

El rango o recorrido estadístico es la diferencia entre el valor mínimo y el valor máximo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.

Requisitos del rango

• Ordenamos los números según su tamaño.
• Restamos el valor mínimo del valor máximo.

Ejemplo:

Se tiene el siguiente conjunto de datos, ¿Cuál es el rango?

2, 5, 8, 7,3.

Dato menor: 2

Dato mayor: 8

R= 8 - 2

R = 6

• Medio rango

El medio rango de un conjunto de valores numéricos es la media del menor y mayor valor, o la mitad del camino entre el dato de menor valor y el dato de mayor valor. En consecuencia el medio rango es:

 MEDIO RANGO = (MIN+MÁX)/2

Ejemplo.

Para los siguientes datos, determine el medio rango. 2, 4, 7, 8, 9, 3.

MEDIO RANGO = (2+9)/2

MEDIO RANGO = 5.5

• Varianza

La varianza (también denominada variancia, aunque esta denominación es menos utilizada) es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, la media de las diferencias cuadráticas de las puntuaciones respecto a su media aritmética. Suele ser representada con la letra griega σ o una V en mayúscula.

Propiedades

• La varianza es siempre positiva o 0.
• Si a los datos de la distribución les sumamos una cantidad constante la varianza no se modifica.

Y_i = X_i + k c 

• Si a los datos de la distribución les multiplicamos una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de esa constante.

• Propiedad distributiva: V(X + Y) = V(X) + V(Y)

• Desviación típica.

La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades   cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es su inicial de su nominación en inglés.

• Desviación típica poblacional.   

• Desviación típica muestral.

• Covarianza: La covarianza entre dos variables es un estadístico resumen indicador de si las puntuaciones están relacionadas entre sí. La formulación clásica, se simboliza por la letra griega sigma (σ) cuando ha sido calculada en la población. Si se obtiene sobre una muestra, se designa por la letra "s_xy". La formula suele aparecer expresada como:   

• Coeficiente de Correlación de Pearson. El coeficiente de correlación de Pearson, r, permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresión obtenida es satisfactorio. Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas (raíz cuadrada de las varianzas).

 

         Teniendo en cuenta el valor anterior se puede evaluar por:

• Propiedades del coeficiente de Correlación:

• El coeficiente de correlación, r, presenta valores entre –1 y +1.
• Cuando r es próximo a 0, no hay correlación lineal entre las variables. La nube de puntos está muy dispersa o bien no forma una línea recta. No se puede trazar una recta de regresión.
• Cuando r es cercano a +1, hay una buena correlación positiva entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente positiva, será creciente.
• Cuando r es cercano a -1, hay una buena correlación negativa entre las variables según un modelo lineal y la recta de regresión que se determine tendrá pendiente negativa: es decreciente.

FUENTE: VARGAS SABADÍAS, Antonio. Estadística descriptiva e inferencial. Colección ciencia y técnica. Pág 70-75.