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GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Para la generación de números aleatorios, es necesario tener claro las distribuciones estadísticas. Por esta razón, en el siguiente link, se les facilita a ustedes una tabla en donde se encuentran los tipos de distribuciones estadísticas, con sus referentes gráficas, aplicaciones y fórmulas, con el propósito que en el momento que se generen los números aleatorios se conozca que distribuciones estadísticas estas siguen:


      Métodos lógicos: Entre estos se encuentran:
Método de cuadrados medios: Fue  propuesto en la década de los 40 del siglo XX por Von Neumann y Metrópolis. Requiere un número entero detonador (llamado semilla) con D dígitos, el cual es elevado al cuadrado. Los pasos para generar números mediante cuadrados medios son:
  1. Seleccionar una semilla (X0).
  2. Se eleva al cuadrado la semilla.
  3. Se extrae  la cantidad de dígitos del centro que se deseen, y este será X1.
  4. Dividir X1 entre 10000 y el resultado es el número aleatorio buscado.
  5. Repetir desde el paso 2 siendo la semilla X1 hasta obtener la cantidad de número aleatorios deseados.

Ejemplos:
a)    Tomemos como semilla X0  a 263 y se tomaran los cuatro números del centro:


b)   Generar 3 números de 4 dígitos a partir de un generador de cuadrados medios utilizando la semilla 445.

(445)2 = 198025 = 1 9802 5 à 0.9802
(9802)2 = 96079204 = 96 0792 04 à 0.0792
(792)2 = 627264 = 6 2726 4 à 0.2726                              
La función para generar números aleatorios en el sistema de Excel es:
Ri = RAND ()

Ejemplo: Se tiene la semilla (Xo) = 9852; halle los primeros 33 números por medio del método de números cuadrados, hallando a su vez la moda de los mismos.

Solución: La solución se presenta en el siguiente link en Excel:

Método Congruencial: Se cuenta con varios generadores, de los cuales los más populares son los métodos congruenciales (aditivo, multiplicativo y mixto). El método congruencial mixto genera una sucesión de números aleatorios enteros en un intervalo de 0 a m-1. Éste método siempre calcula el siguiente número a partir del último que obtuvo, dado un número aleatorio inicial Xo, llamado semilla. En particular, calcula el (n + 1)-ésimo número aleatorio Xn+1 a partir del n-ésimo número aleatorio Xn con la relación de recurrencia.  


Donde a, c y m son enteros positivos (a < m, c < m). Ésta notación matemática significa que Xn+1 son 0, 1, …, M-1, de manera que m representa el número deseado de valores diferentes que se puede generar como números aleatorios.

A manera de ilustración, suponga que m=8, a=5, c=7 y Xo=4. En la siguiente tabla se calculó la sucesión de números aleatorios que se tuvo (esta sucesión no puede continuar, puesto que solo se repetirían los números en el mismo orden). Obsérvese que ésta sucesión incluye los ocho números posibles una sola vez. Ésta propiedad es necesaria para una sucesión de números aleatorios enteros, pero no ocurre con algunos valores de a y c.


La cantidad de números consecutivos en una sucesión antes de que se repita se conoce como longitud de ciclo. En consecuencia, la longitud de ciclo en el ejemplo es 8. La longitud de ciclo máxima es m, de manera que sólo los valores de a y c considerados son los que conducen a una longitud de ciclo máxima.

En la siguiente tabla, se ilustra la conversión de números aleatorios en números aleatorios uniformes. La columna de la izquierda proporciona los números aleatorios enteros que se obtuvo en la última columna de la tabla anterior. La última columna proporciona los números aleatorios uniformes correspondientes a partir de la fórmula:

   Número aleatorio uniforme = (Número aleatorio entero + ½) /m



El método congruencial multiplicativo corresponde al caso especial del método congruencial mixto en el que c =0. El método congruencial aditivo también es parecido, pero establece a =1 y sustituye a c por algún número aleatorio anterior a Xn en la sucesión, por ejemplo, Xn-1 (así requiere más de una semilla para iniciar el cálculo de la sucesión).

El método congruencial mixto proporciona una gran flexibilidad para elegir un generador de números aleatorios en particular (una combinación específica de a, c y m). Sin embargo, se requiere tener mucho cuidado al seleccionar el generador de números aleatorios porque la mayoría de las combinaciones de valores a, c y m conducen a propiedades indeseables (por ejemplo, una longitud de ciclo menor a m).

Ejemplos en Excel:

Utilizando el método congruencial mixto realice el histograma para los primeros 1000 números derivados de la semilla 9731, teniendo en cuenta que: A=2, C=7 y m=10000. También se pide hallar la moda, el promedio y la desviación estándar de los números.

Solución:

Utilizando el método congruencial multiplicativo encuentre los primeros 37 números derivados de la semilla 9731, teniendo en cuenta que A=2 y m=10000. También puede hallar la moda y el promedio teniendo en cuenta los resultados de los números.

Solución:

Utilizando el método congruencial multiplicativo encuentre los primeros 38 números derivados de la semilla 9731, teniendo en cuenta que C=7 y m=10000. También puede hallar la moda y el promedio teniendo en cuenta los resultados de los números.

Solución:

Fuente: COSS BU, Raúl Simulación un enfoque práctico. Limusa Noriega Editores. Pág 20-24.

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